منوعات

المشكلة الرياضية التي استغرق حلها ما يقرب من قرن من الزمان: سر أرقام رامزي

لقد مررنا جميعًا بذلك: مشاهدة اختبار الرياضيات مع مشكلة يبدو من المستحيل حلها. ماذا لو استغرق إيجاد حل لمشكلة ما قرنًا تقريبًا؟ بالنسبة لعلماء الرياضيات المهتمين بنظرية رامزي، هذا هو الحال تمامًا. في الواقع، لم يتم إحراز تقدم يذكر في حل مشاكل رامزي منذ الثلاثينيات.

الآن، وجد الباحثون جاك فيرستريت وسام ماتيوس من جامعة كاليفورنيا، سان دييغو، الإجابة على مسألة r(4,t)، وهي مشكلة رامزي طويلة الأمد والتي حيرت عالم الرياضيات لعقود من الزمن.

ما هي مشكلة رامزي على أي حال؟

في لغة الرياضيات، الرسم البياني هو سلسلة من النقاط والخطوط بين تلك النقاط. تقترح نظرية رامزي أنه إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، فمن المؤكد أنك ستجد نوعًا من النظام – مجموعة من النقاط بدون خطوط بينها. أو مجموعة من النقاط مع كل الخطوط الممكنة بينها (تسمى هذه المجموعات “المجموعات”). هذا مكتوب r(s,t) حيث س هي النقاط مع الخطوط و ر هي النقاط بدون خطوط.

بالنسبة لأولئك منا غير المهتمين بنظرية الرسم البياني، فإن مسألة رامزي الأكثر شهرة، r(3,3)، تسمى أحيانًا “نظرية الأصدقاء والغرباء” ويتم تفسيرها على شكل حزب: في مجموعة من ستة أشخاص، أنت ستجد على الأقل ثلاثة أشخاص يعرفون بعضهم البعض أو ثلاثة أشخاص لا يعرفون بعضهم البعض. إجابة r(3,3) هي ستة.

يقول فيرستريت: “إنها حقيقة طبيعية، حقيقة مطلقة”. “لا يهم الموقف أو الأشخاص الستة الذين تختارهم – ستجد ثلاثة أشخاص يعرفون بعضهم البعض أو ثلاثة أشخاص لا يعرفون بعضهم البعض. قد تتمكن من العثور على المزيد، لكنك مطمئن سيكون هناك على الأقل ثلاثة في زمرة واحدة أو أخرى.

ماذا حدث بعد أن اكتشف علماء الرياضيات أن r(3,3) = 6؟ وبطبيعة الحال، أرادوا معرفة r(4,4) وr(5,5) وr(4,t) حيث يكون عدد النقاط غير المتصلة متغيرًا. حل r(4,4) هو 18 وتم إثباته باستخدام نظرية أنشأها بول إيردوس وجورج سيكيريس في ثلاثينيات القرن العشرين.

حاليا، ص (5،5) لا يزال مجهولا.

يتم الدفاع عن مشكلة جيدة

لماذا يعتبر شيء بسيط جدًا يصعب حله؟ يبدو أن هذا أكثر تعقيدًا مما يبدو. لنفترض أنك تعلم أن حل r(5,5) يقع بين 40 و50. إذا بدأت بـ 45 نقطة، سيكون هناك أكثر من 10234 الرسومات للنظر!

وأوضح فيرستريت: “نظرًا لصعوبة العثور على هذه الأرقام، يبحث علماء الرياضيات عن التقديرات”. “هذا ما أدركته أنا وسام في عملنا الأخير. كيف يمكننا أن نجد ليس الإجابة الدقيقة، بل أفضل التقديرات لما قد تكون عليه أرقام رامزي؟”

يتعلم طلاب الرياضيات عن مسائل رامزي في وقت مبكر جدًا، ولهذا السبب كان r(4,t) على رادار Verstraete طوال معظم حياته المهنية. في الواقع، اكتشف المشكلة لأول مرة في الطباعة اردوس على الرسوم البيانية: إرثه من المشاكل التي لم تحل، كتبه اثنان من أساتذة جامعة كاليفورنيا في سان دييغو، فان تشونغ والراحل رون جراهام. المشكلة هي تخمين من إردوس، الذي عرض 250 دولارًا لأول شخص يمكنه حلها.

وقال فيرستريت: “لقد فكر الكثير من الناس في r(4,t) – لقد كانت مشكلة مفتوحة لأكثر من 90 عامًا”. “لكن هذا لم يكن شيئًا كان في طليعة بحثي. يعلم الجميع أنه صعب وقد حاول الجميع اكتشافه، لذلك ما لم تكن لديك فكرة جديدة، فمن المحتمل أنك لن تذهب إلى أي مكان.”

وبعد ذلك، منذ حوالي أربع سنوات، كان فيرسترايت يعمل على مسألة رامزي أخرى مع عالم الرياضيات في جامعة إلينوي في شيكاغو، دروف موباي. وقد اكتشفوا معًا أن الرسوم البيانية العشوائية الزائفة يمكن أن تعزز المعرفة الحالية بهذه المشكلات القديمة.

في عام 1937، اكتشف إيردوس أن استخدام الرسوم البيانية العشوائية يمكن أن يعطي حدودًا منخفضة جيدة لمسائل رامزي. ما اكتشفه فيرستريت وموباي هو تلك العينات مستعارغالبًا ما تعطي الرسوم البيانية العشوائية حدودًا أفضل لأرقام رامزي مقارنة بالرسوم البيانية العشوائية. وكانت هذه الحدود ــ الحدود العليا والدنيا للاستجابة المحتملة ــ سبباً في تضييق نطاق التقديرات التي يمكنهم تقديمها. وبعبارة أخرى، كانوا يقتربون من الحقيقة.

في عام 2019، ولإسعاد عالم الرياضيات، استخدم Verstraete وMubayi الرسوم البيانية العشوائية الزائفة لحل r(3,t). ومع ذلك، واجه Verstraete صعوبة في إنشاء رسم بياني شبه عشوائي يمكن أن يساعد في حل r(4,t).

أصبح مهتمًا بمجالات مختلفة من الرياضيات خارج نطاق التوافقيات، بما في ذلك الهندسة المحدودة والجبر والاحتمالات. وفي نهاية المطاف، تعاون مع ماتيوس، وهو باحث ما بعد الدكتوراه في مجموعته والذي كانت خلفيته في الهندسة المحدودة.

وقال فيرستريت: “اتضح أن الرسم البياني العشوائي الزائف الذي نحتاجه يمكن العثور عليه في الهندسة المحدودة”. “كان سام الشخص المثالي لمساعدتنا في بناء ما نحتاجه.”

بمجرد وضع الرسم البياني العشوائي الزائف، كان لا يزال يتعين عليهم حل العديد من العناصر الرياضية. استغرق الأمر ما يقرب من عام، لكنهم أدركوا أخيرًا أن لديهم الحل: r(4,t) قريب من دالة تكعيبية لـ ر. إذا كنت تريد حفلة حيث سيكون هناك دائمًا أربعة أشخاص يعرفون بعضهم البعض أو ر الأشخاص الذين لا يعرفون بعضهم البعض، سوف تحتاج إلى حوالي ر3 الحضور. هناك علامة النجمة الصغيرة (في الواقع o) لأنه، تذكر، هذا تقدير وليس إجابة دقيقة. لكن3 قريب جدًا من الإجابة الدقيقة.

وتجري حاليا مراجعة النتائج مع حوليات الرياضيات.

وقال فيرستريت: “لقد استغرق الأمر منا سنوات لحل المشكلة”. “وكانت هناك أوقات عديدة كنا فيها عالقين وتساءلنا عما إذا كنا قادرين على حل المشكلة. ولكن لا يجب أن تستسلم أبدًا، بغض النظر عن المدة التي يستغرقها الأمر.”

يؤكد Verstraete على أهمية المثابرة، وهو الأمر الذي كثيرًا ما يذكره لطلابه. “إذا وجدت المشكلة صعبة وتعثرت، فهذا يعني أنها مشكلة جيدة. قال فان تشونغ إن المشكلة الجيدة تدافع عن نفسها. لا يمكنك أن تتوقع حدوث ذلك.”

وتعرف Verstraete أن مثل هذا التصميم يكافأ جيدًا: “لقد تلقيت مكالمة من فان تقول إنها مدينة لي بمبلغ 250 دولارًا”.

..

Source link

orcalimaa

المصدر الرئيسي للأخبار والمعلومات الصحية والطبية الموثوقة وفي الوقت المناسب . توفير معلومات صحية ذات مصداقية ومجتمع داعم وخدمات تعليمية من خلال مزج الخبرة الحائزة على جوائز في المحتوى والخدمات المجتمعية وتعليقات الخبراء والمراجعة الطبية .

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى